Alessandro devint célèbre du jour au lendemain dans le monde de la course automobile en 1991 lorsqu'il fut un concurrent inattendu en Formule 3000. Bien que le titre soit finalement remporté par Christian Fittipaldi, Alessandro fit ses débuts en Formule 1 avant la fin de la saison, prenant la place que Michael Schumacher avait quittée dans l'équipe Jordan. Lors d'une course sous la pluie pour le Grand Prix d'Espagne, il démontra un talent qui méritait d'être suivi, et il obtint un rôle en tant que pilote d'essai de Benetton en 1992. L'année suivante il entra chez Lotus et eut la chance de survivre à un grave accident à Eau Rouge sur le Grand Prix de Belgique, suite à quoi il fut remplacé par Pedro Lamy. Il récupéra sa place en 1994, mais l'équipe était à court d'argent. Bien qu'il soit beaucoup apprécié par l'équipe pour sa personnalité chaleureuse et sa ténacité, rien de constructif n'en résulta, et il se retrouva sans voiture en 1995. Alessandro se dirigea alors vers une carrière dans la catégorie Indy Cars. Il y brilla de façon magistrale remportant le Championnat Indycar deux fois de suite en 1997 et 1998. Ses exploits outre-Atlantique lui permirent de revenir à la Formule 1 pour la saison 1999, ayant obtenu une place chez Williams. Il y resta un an avant d'être remplacé par le jeune espoir britannique Jenson Button. 

Alessandro revint à l'IndyCar en 2001 mais le 15 septembre 2001 au cours de l'épreuve des 500 miles d'Allemagne, il fut victime d'un effroyable accident. Amené à l'hôpital dans un état extrêmement grave, il fut malheureusement amputé des deux jambes. Âgé de 34 ans, Alessandro était en passe de remporter sa première victoire de la saison.